ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА – 06.01.2012 г.
X клас
Задача 1. Дадено е квадратното уравнение 
с корени х1
и
х2.
Ако 
, при каква стойност на параметъра m е изпълнено неравенството:
, за всяко реално число x? 7 точки
Задача 2. Да се реши неравенството: 
7 точки
Задача 3. Даден е триъгълник ABC, за който 
АСВ=90°, 
Точките M и N лежат съответно върху страните AB и AC и са такива, че 
и 
Ако радиусът на описаната около триъгълника ABC окръжност е 5 см , то :
А) Да се намерят страните на триъгълника AВС ; 4 точки
Б) Да се намери радиусът на окръжността, която минава през точка N и се допира до AB в точка M.
3 точки
Време за работа 4 часа.
Желаем Ви успех!
Общински кръг на олимпиадата по математика в Пловдивска област – 06.01.2012 г.
Критерии за оценяване – 10 клас
1.зад: – Преобразувано n във вида: 1т;
– Изразени формулите на Виет и намерено n= -3 1т;
– Доказано, че
за всяко X 1т;
– Неравенството доведено до вида:
1т;
– Разгледан случая
и доказано, че не е решение 1т;
– Разгледан случая
и доказано, че не е решение 1т;
– Разгледан случая
1т.
2.зад: – Приведено неравенството във вида:
1т;
-
Съобразено, че и неравенството сведено до:
1 т;
Решена системата:
2 т;
– Решена системата:
2 т; – Намерено обединеното решение на двете системи 1т.
3.зад: А)
– Намерен коефициентът на подобие между триъгълниците AMN и ABC, k = 1 т.
– Доказано, че MN е средна отсечка 1т;
– Доказано, че AB = 2R = 10 см 1т;
– Намерени AC = 6 см и BC = 8 см 1т;
Б) – Обосновано местоположението на диаметъра на окръжността (
MNC = 900 ). 1 т.
- От подобието на триъгълниците MNL и MNA намерено ML =
см, точка
L AC и ML е диаметър на търсената окръжност 1,5т;
-
Намерен радиусът на окръжността R1 = см. 0,5т.
Оценяването е примерно. Всеки друг верен вариант на решение се оценява с максимален брой точки.
За областен кръг се класират учениците, получили най- малко 16 точки.