ОБЩИНСКИ КРЪГ НА ОЛИМПИАДАТА ПО МАТЕМАТИКА – 06.01.2012 г.
XІ клас
Задача 1. Числата 
,
, 
, 
, образуват растяща геометрична прогресия, като 
и 
са корени на уравнението 
, а 
и 
са корени на уравнението 
, където a и b са параметри. Намерете a и b . 7 точки
Задача 2.
А) Намерете стойностите на 
, за които корените x1 и x2 на уравнението
x2 – xsin2
– cos 2
– 1 = 0 удовлетворяват зависимостта 
= – 1 4 точки
Б) Решете уравнението 
. 3 точки
Задача 3. В ∆ АВС 
АС < ВС и АС = 2а.
А) Права, минаваща през върха С сключва ъгъл 
с катета АС и отсича от хипотенузата отсечка с дължина, равна на 
от дължината на хипотенузата, считано от върха А. Да се намери лицето на ∆ АВС. 4 точки
Б) Ако окръжност с диаметър катета АС пресича ъглополовящата AL на ∢САВ в точка P и AP
:
PL = 3 : 1 да се намерят острите ъгли на триъгълника.
3 точки
Време за работа 4 часа.
Желаем Ви успех!
Общински кръг на олимпиадата по математика в Пловдивска област – 06.01.2012 г.
Критерии за оценяване на задачите – 11 клас
Зад.1.-Изразяване на връзки между корените на уравненията от свойствата на геометричната прогресия – 2 точки
– Изразяване на връзки между корените на уравненията от формулите на Виет – 1 точка
– Съставяне на системата – 1 точка
– Решаване на системата и намиране на параметрите а = 2 и в = 32. – 3 точки
Зад.2.
a)
Прилагане формулите на Виет x1 +
x2 = sin2
и x1 x2 = – cos2
–1
0.5 точки
За извода x1 x2
и
x1
и x2
0.5 точки
За преобразуване на 
= –1 и получаване на x1 +
x2 = – x1 x2 0.5 точки
За получаване на α:
sin2
=
cos2
+ 1 0.5 точки
1 – cos2
= cos2
+ 1 , cos2
= 0 0.5 точки
Получаване на 
0.5 точки
б) DM: 
x>2 1 точка
0,5 точки
0,5 точки
0,5 точки
0,5 точки
1 точка
Зад.3.А) Ако правата пресича хипотенузата в т К , то означаваме АК = 2х и КВ = 5х , където х е коефициент на пропорционалност; въвеждане на помощен ъгъл 
∢
и∢
– 1 точка
– Изразяване на х от синусова теорема в ΔAKC и намиране, че 
– 1 точка
– Изразяване на BC от синусова теорема в ΔBKC и намиране, че 
– 1 точка
– Намиране лицето на Δ АВС 
– 1 точка
Б) – Установяване, че ∢
–
0,5 точки
– Означаване на СР = х и АР = 3х –
0,5 точки
– Изразяване на СР =
(възможно е по различни начини ) – 1 точка
– Намиране на 
, където 
–
0,5 точки
– Намиране на ъглите ∢
и ∢
–
0,5 точки
Оценяването е примерно. Всеки друг верен вариант на решение се оценява с максимален брой точки.
За областен кръг се класират учениците, получили най- малко 16 точки.